I circuiti AC immaginari non sono davvero complessi

Se hai mai letto libri o documenti avanzati sull’elettronica, potresti essere stato stupito di vedere l’uso di numeri complessi utilizzati nell’analisi dei circuiti AC. Un numero complesso ha due parti: una parte reale e una parte immaginaria. Ho spesso pensato che un sacco di libri e lezioni semplicemente tipo di lucentezza su ciò che questo significa davvero. Quale parte del potere elettrico è immaginario? Perché lo facciamo?

La risposta breve è l’angolo di fase: il ritardo tra una tensione e una corrente in un circuito. Come può un angolo è un momento? Questo è parte di ciò di cui ho bisogno per spiegare.

Innanzitutto, considera un resistore. Se si applica una tensione ad essa, una certa corrente fluirà che è possibile identificare dalla legge di Ohm. Se si conosce la tensione immediata attraverso il resistore, puoi ricavare la corrente e puoi trovare il potere: quanto funzionerà che la potenza elettrica farà. Va bene per la corrente DC attraverso i resistori. Ma i componenti come condensatori e induttori con una corrente AC non obbediscono alla legge di Ohm. Prendi un condensatore. La corrente scorre solo quando il condensatore è caricato o scarico, quindi la corrente attraverso si riferisce al tasso di cambio della tensione, non dal livello di tensione immediata.

Ciò implica che se si traccia la tensione dell’onda sinusoidale contro la corrente, la parte superiore della tensione sarà in cui la corrente è minima, e la corrente superiore sarà il punto in cui la tensione è a zero. Puoi vedere che in questa immagine, dove l’onda gialla è la tensione (V) e l’onda verde è corrente (I). Guarda come è la cima verde dove la curva gialla attraversa zero? E la cima gialla è dove la curva verde attraversa zero?

Queste onde collegate sine e coseno potrebbero ricordarti qualcosa – le coordinate X e Y di un punto che vengono spazzate attorno a un cerchio a una velocità costante, e questa è la nostra connessione a numeri complessi. Alla fine del post, vedrai che non è così complicato e la quantità “immaginaria” non è affatto immaginaria.

Semplificare ipotesi

Inizia con un segnale audio di qualcuno che parla e alimentalo nel tuo circuito. È inondato con diverse frequenze che cambiano costantemente. Se avessi un circuito con solo resistori in esso, è possibile scegliere un punto in tempo, trovare tutti i componenti di frequenza presenti o l’ampiezza immediata, deriva le correnti immediate, e potresti usare tecniche convenzionali su di esso. Dovresti solo farlo più e più volte. Se il circuito comporta induttori o condensatori, il cui comportamento dipende da molto più della semplice tensione attraverso di loro, questo diventa molto impegnativo molto rapidamente.

Invece, è più semplice iniziare con un’onda sinusoidale a una sola frequenza e presumere che un segnale complesso di numerose frequenze diverse sia solo la somma di numerosi singoli sines. Un modo per pensare a un condensatore è considerarlo un resistore che ha una maggiore resistenza a frequenze inferiori. Un induttore agisce come un resistore che diventa più grande a frequenze più alte. Poiché considerando solo una sola frequenza, possiamo convertire qualsiasi capacità di capacità e induttanza su un’impedenza: una resistenza che è solo buona alla frequenza di interesse. Ciò che è molto di più è che possiamo rappresentare l’impedenza come numero complesso in modo da poter tenere traccia dell’angolo di fase del circuito, che si riferisce direttamente a un particolare ritardo di tempo tra tensione e corrente.

Per un vero resistore, la parte immaginaria è 0. Questo ha senso perché la tensione e la corrente sono in fase e per questo motivo non c’è affatto ritardo. Per un condensatore puro o induttore, la parte reale è zero. I veri circuiti avranno combinazioni e quindi avranno una combinazione di parti reali e immaginarie. Numeri come quelli sono numeri complessi e puoi scriverli in diversi modi.

Revisione complessa

La prima cosa da ricordare è che la parola immaginaria è solo un termine arbitrario. Forse è meglio dimenticare il normale implying della parola immaginaria. Queste quantità immaginarie non sono una specie di elettricità o resistenza magica. Usiamo numeri immaginari per rappresentare i ritardi del tempo nei circuiti. È tutto.

C’è una lunga storia di ciò che i numeri immaginari implicano in pura matematica e perché sono chiamati immaginari. Puoi guardarlo se sei una testata matematica, ma dovresti sapere che i libri di matematica usano il simbolo I per la parte immaginaria di un numero complesso. Tuttavia, poiché gli ingegneri elettrici usano I per la corrente, usiamo invece j. Devi solo ricordare quando leggono i libri di matematica, vedrai I e non è una corrente, ed è lo stesso di J nei libri elettrici.

Ci sono diversi modi per rappresentare un numero complesso. Il modo più semplice è scrivere la parte reale e la parte immaginaria come aggiunta insieme insieme a J. Quindi considera questo:

5 + 3J.

Diciamo che la parte reale è 5 e la parte immaginaria è 3. I numeri scritti in questo modulo sono in formato rettangolare. Puoi tracciarlo sulle righe numeriche come questa:

Ciò porta al secondo modo di scrivere un numero complesso: notazione polare. Se il punto del grafico è 5 + 3J, puoi notare che un vettore può rappresentare il SAme point. It will have a length or magnitude and an angle (the angle it makes with the X-axis of the graph). In this case, the magnitude is 5.83 (about) and the angle is just a little under 31 degrees.

This is interesting because it is a vector and there are a lot of good math tools to manipulate vectors. It is going to become really essential in a minute because the angle can correspond to a phase angle in a circuit and the magnitude has a direct physical relationship, as well.

Angolo di fase

Remember that I said we do an AC analysis at a single frequency? If you plot the AC voltage across and the current going through a resistor at some frequency, the two sine waves will line up exactly. That’s because a resistor doesn’t time delay anything. We’d say the phase angle across the resistor is zero degrees.

However, for a capacitor, the current will appear to rise before the voltage by some amount of time. This makes sense if you think about your intuition about capacitors at DC. When a capacitor is discharged, it has no voltage across it, but it will consume a lot of current — it temporarily looks like a short circuit. As the charge builds, the voltage rises but the current drops, until the capacitor is fully charged. At that point, the voltage is at a maximum, but the current is zero, or nearly so.

Inductors have the opposite arrangement: voltage leads current, so the curves would look the same but the V curve is now the I and the I curve is now the V. You can remember that with the easy mnemonic ELI the ICE man, where E is voltage just like in Ohm’s law. When you talk about phase shift in a circuit, you really imply how much the current leads or lags the voltage at a given frequency. That’s a essential idea: phase shift or angle is the amount of time the current leads or lags the voltage. You can also measure phase between other things like two different voltage sources, but typically when you say “this circuit has a phase shift of 22 degrees” you imply the voltage vs the current time delay.

Keep in mind a sine wave is like a circle bent to fit a line. So if the start of the sine wave is at 0 degrees, the top of the positive top is 90 degrees. The second 0 crossing is 180 degrees, and the negative top is 270 degrees–just like the points on a circle. because the sine wave is at a fixed frequency, putting something at a particular degree mark is the same as expressing a time.

In the case of a resistor, the shift is 0 degrees. So in complex notation, a 100 ohm resistor is 100 + 0j. It can also be 100∠0. For a capacitor, the current rises before the voltage by 90 degrees so a capacitor has a phase shift of -90. but what’s the magnitude?

You probably learned that the capacitive reactance is equal to 1/(2πfC) where f is the frequency in Hz. That’s the magnitude of the polar form. Of course, because -90 degrees is straight down the number line, it is also the imaginary part of the rectangular form (and the real part is zero). If capacitive reactance (Xc) is equal to 50, for example, then you could write 0-50j or 50∠-90. Inductors work the same but the reactance (Xl) is 2πfL and the phase angle is 90 degrees. So an inductor with the same reactance would be 0 + 50j or 50∠90.

Finding the Power

Let’s look at a quick example of what these phase angles are good for: calculating power. You know that power is voltage times current. So if a capacitor has 1 V across it (peak) and draws 1 A through it (peak), is the power 1 watt? No, because it doesn’t draw 1 V at 1 A at the same time.

Consider this simulation (see figure to the right). You can see the traces to the left show the 90 degree phase shift very clearly (the green trace is voltage and the yellow one is current). The top voltage is 1.85 V and the current peaks at about 4.65 mA. The product of the voltage times the current is 8.6 mW. but that’s not the best answer. The power is actually 4.29 mW (see the graph on the right). In an ideal capacitor, power isn’t consumed. It is stored and released, which is why the power goes negative. real capacitors, of course, exhibit some loss.

Note that the power supply doesn’t offer 4.29 mW, but much less. That’s because the resistor is the only thing consuming power. The voltage and current are in phase for it and some of the power it dissipates is coming from the capacitor’s stored charge.

Circuits

The magnitude of the vector is usable in Ohm’s law. For example, at 40 Hz, the Xc of the example circuit is just under 400 ohms. So the total complex impedance for the RC circuit is 1000 – 400j.

If you are adept with vectors you could do polar by writing 1000∠0 + 400∠-90. However, it is typically simpler to write the rectangular version and convert to polar (Wolfram Alpha is good at that; just remember to use i instead of j). The magnitude is just the Pythagorean theorem and the angle is easy trig. I am not going to go into it, but here’s the formula where R and J are the real and imaginary parts, respectively.

mag=SQRT(R^ 2 + J ^ 2)
Phase = Arctan (J / R)

Il nostro esempio, quindi, è 1077∠-21,8.

Allora, qual è il potere che esce dalla fonte di tensione? Il potere è e ^ 2 / r (o, in realtà, e ^ 2 / z in questo caso). Quindi 25/1077 = 23 MW Peak. La simulazione mostra 22.29 e perché ho arrotondato alcuni valori, questo è abbastanza vicino.

Questo è tutto?

Non è, naturalmente, ma è tutto ciò che devi sapere per un sacco di scopi. Numerosi testi elettronici a livello di hobby a livello di hobby Skimp sui dettagli e lavorano solo con legnitudini. Per i circuiti facili, questo può funzionare, ma per qualcosa di complesso (nessun gioco di parole previsto), viene peloso velocemente.

A proposito, questo esempio ha mostrato agli elementi in serie. Tuttavia, è possibile aggiungere reattanze in parallelo proprio come se le resistenze in parallelo.

I concetti essenziali che devi ricordare sono:

L’analisi di un circuito AC si verifica per lo più a una singola frequenza con un ingresso dell’onda sinusoidale.

I numeri immaginari non sono immaginari.

Magnitudini di numeri complessi in forme polari possono essere trattati come una resistenza.

L’angolo di fase è il ritardo tra la tensione e la forma d’onda corrente.

Ci sono molti dettagli che ho gluillato. Probabilmente non hai bisogno di sapere come sono davvero la radice quadrata di quella negativa. O il modo in cui il numero di Eulero si riproduce in questo e la semplicità dell’integrazione e differenziazione delle onde del seno scritta con un’ampiezza e un angolo di fase. Se sei interessato alla storia della matematica, i numeri immaginari hanno una bella storia dietro di loro. Se vuoi qualcosa di molto più pratico, Khan Academy ha alcuni video utili. Tuttavia, ciò che è coperto qui dovrebbe essere tutto ciò che devi sapere per lavorare con i circuiti AC.